複素数

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6.複素数

虚数単位

 \(i^2=-1\)を満たす\(i\)を虚数単位という

複素数

 実数\(a,b\)で\(a+bi\)と表される数を複素数という
また実数でない複素数を虚数という

補足

虚数単位を含む虚数は数直線(実軸)上には存在せず、平面(複素数平面)に拡張される。

コメント

\(a\)を実部、\(b\)を虚部という

\(b=0\)の時複素数は実数\(a\)となる     (ex.3)
\(b \neq 0\)の時虚数となる                   (ex.\(1+2i,3i\))
\(a=0,b \neq 0\)の時純虚数となる     (ex.\(3i\))

コメント

\(a\)を実部、\(b\)を虚部という


\(b=0\)の時複素数は実数\(a\)となる     (ex.3)
\(b \neq 0\)の時虚数となる                   (ex.\(1+2i,3i\))
\(a=0,b \neq 0\)の時純虚数となる     (ex.\(3i\))

7.複素数の四則演算

複素数の相等

\(a+bi=c+di \Leftrightarrow a=c かつb=d\)
\(a+bi=0 \Leftrightarrow a=0かつb=0\)

複素数の四則演算

\(1.(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i\)
\(2.(a+bi)-(c+di)=(a-b)+(c-d)i\)
\(3.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)
4. \(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\)=\(\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)

複素数の四則演算

\(1.(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i\)
\(2.(a+bi)-(c+di)=(a-b)+(c-d)i\)
\(3.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)
4. \(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\)=\(\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)

POINT

○\(+\)△\(i\)(実部と虚部をまとめる)の形にする。

1と2は要素ごとに計算してまとめる。
3は分配法則と\(i^2=-1\)を利用してまとめる。
4は分母の共役な複素数で\(i\)を消し、実数化。

8.共役な複素数

共役な複素数

 複素数\(α=a+bi\)に対して\( \overline{α}=a-bi\)は\(α\)と共役な複素数である

POINT

虚部の符号を変化させたもので、虚部が\(0\)の実数\(a\)の共役な複素数は同様に\(a\)である

共役な複素数の性質

1.\(\overline{α+β}=\overline{α}+\overline{β}\)
2.\(\overline{α-β}=\overline{α}-\overline{β}\)
3.\(\overline{αβ}=\overline{α}\overline{β}\)
4.\((\overline{\frac{α}{β}})=\frac{\overline{α}}{\overline{β}}\)

これらは実際に両辺を\(a+bi\)の形に直して実部と虚部を比べれば簡単に示せる。

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