ノルム空間

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1.ノルム空間

ノルム

\(||\cdot ||\)がノルム:
\(\forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb{K}\)

\((N1) ||X||≥0; ||x||=0\Leftrightarrow x=0\)
\((N2) ||\alpha x||=|\alpha|||x||\)
\((N3) ||x+y||≤||x||+||y||\)

ノルム空間

\((X, || \cdot || )\)がノルム空間:   \(|\cdot |\)がノルム

以下\((X, || \cdot || )\)をノルム空間
\(x,y\in X \ ,d:X\times X\rightarrow \mathbb{R}\)とする

ノルムが定める距離

関数\(d\)が\((X, || \cdot || )\)のノルムが定める距離:
\(d(x,y)=||x-y||\)

確かめ

ノルムが定める距離は距離の公理を満たす

ノルムの連続性

\(|||x||-||y|||≤||x-y||\)であり
\(|\cdot |\)は連続関数

以下\(\{x_n\},\{y_n\}\)を\(X\)の点列とする

演算の連続性

\(x_n\rightarrow x,y_n\rightarrow y \Rightarrow x_n+y_n\rightarrow x+y\)
\(\alpha_n\rightarrow \alpha,x_n\rightarrow x\Rightarrow \alpha_n x_n \rightarrow \alpha x\)

同値なノルム

p85

lp

p85

youngの不等式

p87

証明\((0<q<1)\)

ヘルダーの不等式

p87

p87

証明\((0<q<1)\)

ミンコフスキーの不等式

p88

ヘルダーの不等式

p88

ミンコフスキーの不等式

p88

Lp

p89

新しいノルム空間の構成

部分ノルム空間,閉部分空間

p92

商ノルム空間

p89

直積ノルム空間

p89

バナッハ空間

バナッハ空間

p89

バナッハ空間の遺伝2.15-2.17

p95

Lp空間

p99

ソボレフ空間

p100

ノルム空間の完備化

p95

バイルのカテゴリー定理

希薄

p104

第1,2類集合

p104

定理2.24

p105

定理2.27

p106

定理2.28

p109

有界線形作用素

一様有界性定理

凸集合

p110

定理2.40

p117

一様有界性定理

p117

命題2.43

p121

開写像定理と閉グラフ定理

開写像

p110

命題2.45

p121

開写像定理

p122

系2.47

p124

閉グラフ定理

p122

位相的補空間

p125

命題2.54

p122

共役空間

定理2.55

p128

ハンバナッハの拡張定理

劣線形

p130

ハンバナッハの拡張定理

p131

系2.60

p133

補題2.61

p133

ハンバナッハの拡張定理(複素数1)

p131

ハンバナッハの拡張定理(複素数2)

p131

系2.65

p135

命題2.66

p136

共鳴定理

p136

命題2.69

p136

標準的埋め込み

p137

反射的バナッハ空間

p137

命題2.72

p139

命題2.73

p139

弱位相

弱位相

p156

命題2.94

p156

命題2.95

p157

命題2.97

p158

閉単位球

p158

命題2.100

p158

マズールの定理

p158

命題2.102

p160

命題2.103

p160

アラオグルの定理

p161

命題2.105

p163

反射性とコンパクト性

補題2.108

p165

補題2.109

p166

補題2.110

p166

マルコフ角谷の定理

p166

補題2.115

p169

定理2.114

p169

バナッハ空間と連続関数空間

極集合

p156

双対関係

p156

定理2.120

p172

双極定理

p172

閉凸法

p156

補題2.123

p174

グロタンディークの定理

p175

定理2.126

p176

定理3.127

p176

バナッハ空間上の作用素

スペクトル

p179

リゾルベント集合

p179

命題3.3

p180

リゾルベント

p179

リゾルベント方程式

p180

3.6補題

p181

スペクトルの性質

p182

命題3.8

p183

スペクトル半径

p184

補題3.10

p184

補題3.11

p185

命題3.12

p186

スペクトルの分類

点スペクトル

p189

近似点スペクトル

p189

剰余スペクトル

p189

補題3.17

p186

補題3.18

p190

補題3.21

p191

共役作用素とスペクトル

共役作用素

p189

補題3.26

p195

命題3.27

p195

定理3.29

p196

閉値域定理

p197

命題3.31

p198

フレムドルフ作用素

p184

指数

p184

有限次元ノルム空間

補題3.33

p199

系3.34

p200

連続射影作用素の存在

p201

リースの補題

p201

命題3.37

p199

コンパクト作用素

コンパクト作用素

p202

命題3.41

p203

命題3.43

p204

命題3.44

p205

アスコリ アルツェラの定理

p204

命題3.46

p207

フレドホルム、リース、の理論

p207

コンパクト作用素のスペクトル

p208

零空間

p184

値域

p184

補題3.48

p209

補題3.49

p209

補題3.50

p209

補題3.51

p211

余次元

p184

補題3.52

p211

フレドホルムの択一定理

p211

コンパクト作用素の諸結果

完全連続

p215

定理3.55

p215

schanuderの定理

p211

弱コンパクト

p215

gantmacher-中村の定理

p211

閉作用素

定義域

p220

閉作用素

p220

命題3.64-3.67

p211

可閉

p222

閉作用素のスペクトル

リゾルベント作用素

p220

リゾルベント方程式

p225

スペクトル写像定理

p226

系3.74

p227

リゾルベントノルム収束

p220

リゾルベント強収束

p220

Tの共役作用素

p220

命題3.78

p230

擬リゾルベント

擬リゾルベント

p220

命題3.80

p230