直交分解

ヒルベルト空間の閉凸集合

\(X\)を線形空間,\(H\)をヒルベルト空間とする

ここで\(K\)を空でない\(X\)の部分集合とする

凸部分集合

\(K\)が\(X\)の閉凸部分集合:
\(0≤t≤1,x,y\in K\Rightarrow tx+(1-t)y\in K\)

以下\((H,<\cdot \cdot>)\)を内積空間
\(x,y,z \in H, \alpha \in \mathbb{K}\)を任意にとる

性質

\(1.<x,\alpha y>=\overline{\alpha}<x,y>\)
\(2.<x,y+z>=<x,y>+<x,z>\)

sssss

以下\(||\cdot||:H\rightarrow \mathbb{R}\)とする

内積空間のノルム

\((H,<\cdot \cdot>)\)のノルムを
\(||x||=\sqrt{<x,x>}\)と定める

以下\(||\cdot||\)を\((H,<\cdot \cdot>)\)のノルムとする

シュワルツの不等式

\( | < x,y >|≤||x||||y||\)

確かめ

\(||\cdot ||\)はノルムの公理を満たす
よって\((H,||\cdot||)\)はノルム空間である

以下\(\{x_n\}\,\{y_n\}\)を\(H\)の任意の点列とする

内積の連続性

\(x_n\rightarrow x , y_n\rightarrow y \Rightarrow <x_n,y_n>\rightarrow <x,y>\)

中線定理、平行四辺形公式

\(||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2\)

次に新しくノルム空間\((X,||\cdot ||_X)\)を考える

中線定理を満たすノルム空間に内積が定義できる

\(\forall a,b\in X,(||a+b||^2+||a-b||^2=2||a||^2+2||b||^2)\)
\(\Rightarrow \exists X\)の内積\(<\cdot \cdot>、 \forall a\in X(||a||^2=<a,a>)\)