有界線形作用素

有界線形作用素

関数解析では作用素は写像を意味する
\(X,Y\)をノルム空間
\(T:X\rightarrow Y\)を線形作用素(写像)とする

有界線形作用素

\(T\)が有界(線形作用素):
\(\exists M≥0(\forall x\in X(||Tx||≤M||x||))\)

\(T \in \mathcal{L}(X,Y) \overset{\text{def}}{\underset{\text{}}{\Longleftrightarrow}} T\)は有界線形作用素

命題

以下同値

\(1,T\)は有界
\(2,T\)は連続
\(3,T\)は\(0\)で連続

以下\(S,T\in \mathcal{L}(X,Y)\)とする

有界線形作用素のノルム

\(||T||:=sup\{||Tx||:||x||=1\}\)

言い換え

次が成り立つ

\(||T||=inf\{M≥0 |\forall x\in X(||Tx||≤M||x||)\}\)

以下任意の\(x\in X\)を考える

\(\mathcal{L}(X,Y)\)はノルム空間

\(\mathcal{L}(X,Y)\)は演算を以下のように定めるとノルム空間となる

\((S+T)x:=Sx+Tx\)
\((\lambda T)x:=\lambda(Tx)\)

\(\mathcal{L}(X,Y)\)がナッハ空間になる条件

\(Y\)がバナッハ空間ならば\(\mathcal{L}(X,Y)\)はバナッハ空間

\(\mathbb{K}\)を\(\mathbb{R}\)または\(\mathbb{C}\)とする

共役空間

\(X\)の共役空間:\(X^*=\mathcal{L}(X,\mathbb{K})\)