ヒルベルト空間

3.内積空間

\(H\)を線形空間,\(\mathbb{K}=\mathbb{R}\)または\(\mathbb{C}\)
\(<\cdot \cdot>:H\times H \rightarrow \mathbb{K}\, \ (x_1,x_2)\mapsto<x_1,x_2>\)
とする

内積

\(<\cdot \cdot >\)が内積:
(内積の公理)
\(\forall x,y,z\in H,\alpha \in \mathbb{K}\)

\(1.<x,x>≥0,<x,x>=0\Leftrightarrow x=0\)
\(2.<x,y>=\overline{< y,x >}\)
\(3.<\alpha x,y>=\alpha <x,y>\)
\(4.<x+y,z><x,z>+<y,z>\)

内積空間

\((H,<\cdot \cdot >)\)が内積空間:   \(<\cdot \cdot >\)が内積

以下\((H,<\cdot \cdot>)\)を内積空間
\(x,y,z \in H, \alpha \in \mathbb{K}\)を任意にとる

性質

\(1.<x,\alpha y>=\overline{\alpha}<x,y>\)
\(2.<x,y+z>=<x,y>+<x,z>\)

以下\(||\cdot||:H\rightarrow \mathbb{R}\)とする

内積空間のノルム

\((H,<\cdot \cdot>)\)のノルムを
\(||x||=\sqrt{<x,x>}\)と定める

以下\(||\cdot||\)を\((H,<\cdot \cdot>)\)のノルムとする

シュワルツの不等式

\( | < x,y >|≤||x||||y||\)

確かめ

\(||\cdot ||\)はノルムの公理を満たす
よって\((H,||\cdot||)\)はノルム空間である

以下\(\{x_n\}\,\{y_n\}\)を\(H\)の任意の点列とする

内積の連続性

\(x_n\rightarrow x , y_n\rightarrow y \Rightarrow <x_n,y_n>\rightarrow <x,y>\)

中線定理、平行四辺形公式

\(||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2\)

次に新しくノルム空間\((X,||\cdot ||_X)\)を考える

中線定理を満たすノルム空間に内積が定義できる

\(\forall a,b\in X,(||a+b||^2+||a-b||^2=2||a||^2+2||b||^2)\)
\(\Rightarrow \exists X\)の内積\(<\cdot \cdot>、 \forall a\in X(||a||^2=<a,a>)\)

4.ヒルベルト空間

\((H,<\cdot \cdot>)\)を内積空間、\(||\cdot||_H\)をそのノルムとし
\(d\)を\((H,||\cdot||_H)\)の定める距離とする

ヒルベルト空間

\(H\)がヒルベルト空間: 距離空間\((H,d)\)が完備

以下\(H\)をヒルベルト空間とする

実\(\cdot\)複素ヒルベルト空間

\(H\)が実ヒルベルト空間:\(<\cdot \cdot>: \ \ \ H\times H\rightarrow \mathbb{R}\)
\(H\)が複素ヒルベルト空間:\(<\cdot \cdot>: H\times H\rightarrow \mathbb{C}\)