等比数列の極限

3.等比数列の極限

補題(等比数列の極限)

\[\begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} q^n= \end{eqnarray} \begin{cases}    0 \,\,\,\,\,\,(0<q<1) \\    1 \,\,\,\,\,\,(q=1)\\    ∞ \,\,\,\,(q>1) \end{cases} \]

証明\((0<q<1)\)

\(h= \frac{1}{q-1}\)とおく       \((h>0\)である)
\(\frac {1}{q^n}=(1+h)^n=1+nh+ \frac{n(n-1)}{2}h^2+ \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3+\)

2.数列の発散

数列の発散

数列が発散する(収束しない)とは

★\(\existsε>0\),    \(\forall N \in \mathbb{N}\)
\(\exists n\in \mathbb{N} \),  \(s.t.(n \ge N \land |s_n-s| \ge ε\))

が全ての\(s\)で真であること。

否定を考える

収束することの否定なので任意の\(s\)で☆が偽となる
(☆の否定★が真となる)

+∞に発散

数列が\(∞\)に発散するとは

\(\forall B>0\),    \(\exists N \in \mathbb{N}\)
\(s.t.(\forall n \in \mathbb{N}, n≥N \Rightarrow s_n>B)\)

簡単にいうと...

\(B\)をどんなに大きくしてもある項\(a_N\)以降の項全てが\(B\)より大きくなる

表記

極限が∞といい\( \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} s_n=∞ \end{eqnarray}\)とかく

\(\begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} s_n=∞ \end{eqnarray}\)を証明せよ

①\(B\)を\(B_0\)に固定する


②\(n\)がみたすべき条件は

※\(2^n>B_0\Leftrightarrow n>\log_2 B_0\)


③全ての\(n \ge N\)で※が真となる\(N\)の存在を示す

\(N>\log_2 B_0\)を満たす自然数\(N\)をとる
\(N\)以降の\(n\)全ては\(n \ge N >\log_2 B_0\)から※を真にする


④このような\(N\)は任意の\(B>0\)で存在する
(自然数は無限に大きくとれる)


よって\(\begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} 2^n=∞ \end{eqnarray}\)である