数列の極限

1.数列の収束

数列の収束

数列が収束するとは

☆\(\forallε>0\),    \(\exists N \in \mathbb{N}\)
\(s.t.(\forall n\in \mathbb{N} \),  \(n \ge N \Rightarrow |s_n-s|<ε\))

を真にするある数\(s\)が存在すること

数列の収束

数列が収束するとは

☆\(\forallε>0\),    \(\exists N \in \mathbb{N}\)    \(s.t.(\forall n\in \mathbb{N} \),  \(n \ge N \Rightarrow |s_n-s|<ε\))

が成立するある数\(s\)が存在すること

表記

☆を満たす\(s\)を極限といい\( \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} s_n=s \end{eqnarray}\)とかく

簡単にいうと...

\(ε\)をどんなに小さくしてもある項\(a_N\)以降の項全てが区間\((s-ε、s+ε)\)に入る
収束を証明する時は任意の\(ε\)でその条件を満たす自然数\(N\)を探し当てれば良い。通常\(ε\)によって\(N\)も変化するので\(N\)は\(ε\)の関数になることが多い

\(\begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n+3}=2 \end{eqnarray}\)を証明せよ

①\(ε\)を\(ε_0\)に固定する


②\(n\)がみたすべき条件は

※\(|\frac{2n+1}{n+3}-2|<ε_0\Leftrightarrow \frac{5}{ε_0}-3<n\)


③全ての\(n \ge N\)で※が真となる\(N\)の存在を示す

\(N>\frac{5}{ε}-3\)を満たす自然数\(N\)をとる
\(N\)以降の\(n\)全ては\(n \ge N >\frac{5}{ε_0}-3\)から※を真にする


④このような\(N\)は任意の\(ε>0\)で存在する
(自然数は無限に大きくとれる)


よって\(\begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n+3}=2 \end{eqnarray}\)である


2.数列の発散

数列の発散

数列が発散する(収束しない)とは

★\(\existsε>0\),    \(\forall N \in \mathbb{N}\)
\(\exists n\in \mathbb{N} \),  \(s.t.(n \ge N \land |s_n-s| \ge ε\))

が全ての\(s\)で真であること。

否定を考える

収束することの否定なので任意の\(s\)で☆が偽となる
(☆の否定★が真となる)

\(+∞\)に発散

数列が\(∞\)に発散するとは

\(\forall B>0\),    \(\exists N \in \mathbb{N}\)
\(s.t.(\forall n \in \mathbb{N}, n≥N \Rightarrow s_n>B)\)

簡単にいうと...

\(B\)をどんなに大きくしてもある項\(a_N\)以降の項全てが\(B\)より大きくなる

表記

極限が\(∞\)といい\( \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} s_n=∞ \end{eqnarray}\)とかく

\(\begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} 2^n=∞ \end{eqnarray}\)を証明せよ

①\(B\)を\(B_0\)に固定する


②\(n\)がみたすべき条件は

※\(2^n>B_0\Leftrightarrow n>\log_2 B_0\)


③全ての\(n \ge N\)で※が真となる\(N\)の存在を示す

\(N>\log_2 B_0\)を満たす自然数\(N\)をとる
\(N\)以降の\(n\)全ては\(n \ge N >\log_2 B_0\)から※を真にする


④このような\(N\)は任意の\(B>0\)で存在する
(自然数は無限に大きくとれる)


よって\(\begin{eqnarray}\lim_{n \to \infty} 2^n=∞ \end{eqnarray}\)である