加法族

以下\(Ω\)を空でない集合とする

1.有限加法族

定義.有限加法族

次を満たす\(\mathcal{F}(\subset 2^Ω)\)を\(Ω\)上の有限加法族という

  • (ⅰ)\(ø\in\mathcal{F}\)
  • (ⅱ)\(A\in\mathcal{F} \Rightarrow A^c\in\mathcal{F}\)
  • (ⅲ)\(A,B\in\mathcal{F}\Rightarrow A\cup{B}\in\mathcal{F}\)
命題

    \(\mathcal{F}\)を\(Ω\)上の有限加法族とする

  • (ⅰ)\(Ω\in\mathcal{F}\)
  • (ⅱ)\(A,B\in\mathcal{F} \Rightarrow A\cap {B},A\backslash B \in\mathcal{F}\)
  • (ⅲ)\(n\in \mathbb{N},A_1,A_2,...\in \mathcal{F} \Rightarrow \)\(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{A_i}\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{A_i}\in \mathcal{F}\)
解説
  • (ⅰ)\(Ω=0^c\in \mathcal{F}\)
  • (ⅱ)\(A \cap B =(A^c \cup B^c)^c\in\mathcal{F} \)(ドモルガンの法則)

       \(A\backslash B=A\cap B^c\in \mathcal{F}\)
  • (ⅲ)数学的帰納法により明らか

POINT

和、積、補集合もまた有限加法族の要素となる
また\(\{0,Ω\},\{2^Ω\}\)は\(Ω\)上の自明な有限加法群という

2.σ-加法族

定義.σ-加法族

次を満たす\(\mathcal{F}(\subset 2^Ω)\)を\(Ω\)上のσ-加法族という

  • (ⅰ)\(0\in\mathcal{F}\)
  • (ⅱ)\(A\in\mathcal{F} \Rightarrow A^c\in\mathcal{F}\)
  • (ⅲ)\(A_1,A_2,...\in \mathcal{F} \Rightarrow \)\(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{A_i}\in \mathcal{F}\)
命題1

    σ-加法族は有限加法族である


解説

(ⅰ)(ⅱ)は満たしているので(ⅲ)を示す

    \(A_1=A,A_2=B,A_3=ø,A_4=ø...\in \mathcal{F}\)と置くと
    \(A,B\in\mathcal{F}\Rightarrow A\cup B=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{∞}{A_n}\in \mathcal{F}\)


命題2

\(\mathcal{F}\)を\(Ω\)上のσ-加法族とする

  • \(A_1,A_2,...\in \mathcal{F} \Rightarrow \)\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{∞}{A_n}\in \mathcal{F}\)

解説
  • \(A_1^c,A_2^c,...\in \mathcal{F}\)なので
  • \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{∞}{A_n}=(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{∞}{A_n^c})^c\in \mathcal{F}\) (ドモルガンの法則)

\(Ω=\{1.2.3\}\)の時\(\{ø,\{1\},\{2,3\},Ω\}\)は
\(Ω\)上のσ-加法族であり命題から有限加法族でもある

3.可測空間

定義.σ-加法族

\(\mathcal{F}(\subset 2^Ω)\)を\(Ω\)上のσ-加法族という