命題関数

1.命題関数とは

命題関数

集合\(S\)の要素\(x\)によって真偽が決まる命題\(P(x)\)を
定義域を\(S\)とする命題関数と呼ぶ

コメント

高校論理の範囲で扱った条件である

命題関数\(P(x)\)「自然数\(x\)は奇数である」の場合
\(P(3)\)は真\(P(4)\)は偽 となる自然数全体を定意義域とする命題関数である。

これからはこの命題関数\(P\)を扱う。

2.命題論理

命題論理

命題(関数)に\(∧,∨ ,\lnot\)\(,\Rightarrow\)を作用させ得られる命題(関数)の真偽を調べることを命題論理という

真理値表

下に主な真理値(真偽)をまとめた表を示す。\(P\)と\(Q\)の真偽で場合分けして求める。また\(\lnot\)は否定を表す。

\(p\)\(q\)\(p∧q\)\(p∨q\)\(\lnot p\)\(p\Rightarrow q\)\(p\Leftarrow q\)\(p\iff q\)
命題関数の真偽

命題関数\(P(x)\)が真であるとは集合\(S\)の全ての値\(x\)で\(P(x)\)が真となることを言う。

\(x\)を実数とし、\(P(x)\)=「\(x\)が自然数である」、\(Q(x)\)=「\(x\)が整数である」とする。この時「\(P\Rightarrow Q\)」の真偽を考える。
全ての実数は自然数でないか、自然数であっても整数である。真理値表を見ると1,3,4行目に対応し、全ての実数\(x\)で「\(P\Rightarrow Q\)」が真であることがわかる。よってこの命題関数は真である。

3.トートロジー(恒真式)

トートロジー

命題論理で元の命題(関数)の真偽によらず常に真となる命題(関数)

\(p\)\(\lnot p\)\(p∨(\lnot p)\)

上記は排中律と呼ばれるトートロジーである
「\(P\)または\(P\)でない」と言う命題は常に真と言う意味で、例えば\(P(x)\)は「自然数\(x\)は奇数または奇数でない」の時全ての自然数でこの命題関数は真なのでこれは真。