集合の濃度

28.ベルンシュタインの定理

ベルンシュタインの定理

単射\(\small f:X\rightarrow Y\)と単射\(\small g:Y\rightarrow X\)が存在する
\(\small \Rightarrow\)全単射\(\small h:X\rightarrow Y\)が存在する

29.集合の濃度

以下\(A,B\)を集合とする

濃度

\(A\)の濃度を\(|A|\)と定める

濃度の対等

\(\small |A|=|B|\Leftrightarrow\)全単射\(\small f:A\rightarrow B\)が存在する

濃度の大小

\(\small |A|\leq |B|\Leftrightarrow\)単射\(\small f:A\rightarrow B\)が存在する

命題

ベルンシュタインの定理より\(\small |A|\leq |B|\land \small |B|\leq |A|\Rightarrow |A|=|B| \)

27.有限集合

\([n]\)

\(n\in \mathbb{N}_0\)に対して
\(\small [n]:= \begin{cases}    \{1,2,...,n\} (n \geq 1)\\    \phi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (n=0) \end{cases}\)

有限集合

集合\(|A|\)が有限集合:\(\small \exists n_1\in \mathbb{N}_0(|A|=|[n_1]|)\)
この時\(\#A=|A|=n_1\)

無限集合

有限集合でない集合を無限集合とする

可算集合

集合\(A\)が可算集合:\(|A|=|\mathbb{N}|\)

非可算集合

可算無限集合でない無限集合を非加算集合とする