集合の演算法則

9.交換法則、結合法則

交換法則,結合法則

 \(A\cap{B}\)=\(B\cap{A}\)    \(A\cup{B}\)=\(B\cup{A}\)
\((A\cap{B})\cap{C}\)=\(A\cap({B}\cap{C})\)    
\((A\cup{B})\cup{C}\)=\(A\cup({B}\cup{C})\)

POINT

共通部分と和集合は\(+\)演算と同じように順番は入れ替え可能である。

  • \(A=\){\(x|x\)は自然数、\(x\)は2の倍数かつ\(x<10\)}、\(B=\){\(x|x\)は自然数、\(x\)は3の倍数かつ\(x>1\)}

    \(A\cap{B}\)={\(x|x\)は自然数、\(x\)は6の倍数かつ\(1<x<10\)}となる。
  • 解説

    \(A_1\cap{A_2}\cap{A_3}... \cap{A_n}\)の時、順番は入れ替え可能。

    \(A_1=\){\(x|x\)は自然数、\(x\)は2の倍数}={2,4,6…},
    \(A_2=\){\(x|x\)は自然数、\(x<10\)}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
    \(B_1=\){\(x|x\)は自然数、\(x\)は3の倍数}={3,6,9…},
    \(B_2=\){\(x|x\)は自然数、\(x>1\)}={2,3…}とすると,

      \(A=A_1\cap{A_2}\)={2,4,6,8}、   \(B=B_1\cap{B_2}\)={3,6,9…}



    \(A\cap{B}\)=\((A_1\cap{A_2})\cap({B_1\cap{B_2}})\)={6}



    \(A\cap{B}\)=\((A_1\cap{A_2})\cap({B_1\cap{B_2}})\)
             =\((A_1\cap{B_1})\cap({A_2\cap{B_2}})\)
             =(自然数、6の倍数)\( \cap \)(自然数、\(1<x<10\))
             ={\(x|x\)は自然数、\(x\)は6の倍数かつ\(1<x<10\)}
             =({6,12…}\( \cap \){2,3,4,5,6,7,8,9}))={6}

    またはについても同様である。

    補足

    \(A\cap{A}=A\)         \(A\cup{A}=A\)

    例では自然数であることが共通の条件(例ではわかりやすくするために簡略化して扱った)としてあったが、これから一つにまとまることがわかる。

    10.分配法則

    分配法則

     \((A\cap{B})\cup{C}\)=\((A\cup{C})\cap({B}\cup{C})\)   
     \((A\cup{B})\cap{C}\)=\((A\cap{C})\cup({B}\cap{C})\)

    コメント

    細かい証明は大学レベルの証明になるので高校数学では基本的にベン図を描いて確かめる。


     \((A\cap{B})\cup{C}\)=\((A\cup{C})\cap({B}\cup{C})\)

    \((A\cup{B})\cap{C}\)=\((A\cap{C})\cup({B}\cap{C})\)



    上記のようなベン図は余分な領域があっても足りない領域はないので全ての場合を確認したことになる。(余分な領域は空とみなせば良いだけ)

    11.ドモルガンの法則

    ドモルガンの法則

     \( \overline{A \cap{B}} = \overline{A}\cup{\overline{B}}\),     \( \overline{A \cup{B}} = \overline{A}\cap{\overline{B}}\)

    コメント

    分配法則と同じように高校数学ではでは基本的にベン図を描いて確かめる。


     \( \overline{A \cap{B}} = \overline{A}\cup{\overline{B}}\)

    \( \overline{A \cup{B}} = \overline{A}\cap{\overline{B}}\)