集合

1.集合

集合

集合\(\{x|P(x)\}\)は命題関数\(P(x)\)を真にする要素の集まりである

要素

\(a\in A=\{x|P(x)\} ~~\iff P(a) \)
\(a\notin A=\{x|P(x)\} \iff \lnot P(a) \)

要素の個数

集合\(A\)の異なる要素の個数を\(\#A\)と表す。
また集合には相等の要素が重複して属さないので\(\{0,1,1,2\}\)などとしてはいけない

全体集合

議論の対象が集合\(U\)の部分集合の時\(U\)を全体集合と呼ぶことがある

空集合

空集合\(\phi\)は要素を持たない集合すなわち
\(\forall x (x\notin \phi) \)

ラッセルのパラドックス

上記のように\(A=\{X|X\notin X\}\)を集合とすると矛盾が生じる。これがラッセルのパラドックスである。そこで集合は厳密に公理を用いて定義されるが、当サイトで扱う数学では上記の定義でも問題は起きないので深く踏み込まない。

2.集合の相等

部分集合

\(A \subset B \iff \forall x (x\in A \rightarrow x \in B)\)

集合の相等

\(A = B \iff (A \subset B) \land (B \subset A)\)
        \( \iff (x\in A \Leftrightarrow x\in B)\)

3.集合族

集合族

要素がすべて集合である集合を集合族とする

添字を用いた表記(直感的説明)

集合\(\Lambda\)の各元\(\lambda\)に対応して集合\(A_\lambda\)が与えられている時、集合\(A_\lambda\)の集まりを
「集合\(\Lambda\)を添字集合荷物集合族\(\{A_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}\)」という

冪集合

\(\mathfrak{P}(A)=\{X|X\subset A\}\)

冪集合の要素の個数

\(A\)の要素の数が\(n\)の時その冪集合の要素の数は\(2^n\)
\(\#A=n\Rightarrow \#\mathfrak{P}(A)=2^n\)

部分集合族

\(A\)上の集合族とは集合\(A\)の冪集合\(\mathfrak{P}(A)\)の部分集合である

\(A=\{0,1\}\)とすると\(\mathfrak{P}(A)=\{\{\phi\},\{0\},\{1\},\{0,1\}\}\)

また\(\{\{\phi\},\{0\}\}\subset \mathfrak{P}(A)\)なのでこの集合族は\(A\)上の集合族の一つである。

注意!!

空集合\(\phi\)の部分集合族は\(\{\{\phi\}\}\)で一つの元を持つ集合族である