集合と要素

1.集合

集合

 ある条件を真にする値の集まり全体を集合という。

POINT

 真偽が曖昧なものは集合とはならない。

  • 「偶数全体」は集合である(条件は偶数であること)。
  • 「大きい数全体」は集合でない(真偽が判定できない)。
  • 補足

     集合の公理によって厳密に議論されるがここでは触れない。

    2.要素

    要素

     集合を構成する値を要素という。
    \(a\)が\(A\)の要素である時\(a \in A\)と書く。
    \(a\)が\(A\)の要素でない時\(a \notin A\)と書く。

    POINT

    \(a\)が\(A\)の要素の時\(a\)は\(A\)に属するという。


    \(A\)をつくる条件を\(p\)とすると\(a\)が\(A\)に属するとは\(a\)が\(p\)を真にすることである。(この時\(A\)は\(p\)の真理集合

  • Aを整数全体の集合とすると、\(1 \in A\),    \(2.54 \notin A\)
  • 3.記法

    「15の正の約数全体の集合を\(A\)とする。」

    外延的記法(具体的に書き下す方法)

    \(A=\){\(1,3,5,15\)}

    内包的記法(条件を述べる方法)

    \(A=\){\(x|x\)は15の正の約数}

    補足1

    要素が無限または大量にある集合は内包的記法が向いており、外延的記法が使えない場合がある。

    例えば\(0<x<1\)を満たす実数などは{\(x|xは実数、0<x<1\)}と内包的に書く。

    補足2

    要素が無限または大量にあっても規則性がある場合…で外延的に表せるが…の内容が明らかでなければいけないのでやはり内包的記法が好ましい。

    例えば自然数全体の集合は{1,2,3,…}