選択公理と\(Zorn\)の補題

25.選択公理

集合族の直積

\(\Lambda\)を集合とし、集合族\((A_\lambda)\lambda \in \Lambda\)の直積
\(\scriptsize \displaystyle{\prod_{\lambda \in \Lambda}}A_\lambda:=\{f:\Lambda \rightarrow \displaystyle{\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_\lambda}|\forall \lambda \in \Lambda \ (f(\lambda )\in A_\lambda)\}\)

選択公理 \(AC\)

\(\small \Lambda\neq \phi \land \forall \lambda \in \Lambda (A_\lambda \neq \phi)\Rightarrow \scriptsize \displaystyle{\prod_{\lambda \in \Lambda}}A_\lambda \neq \phi\)

26.Zornの補題

帰納的順序集合

順序集合\(A\neq \phi\)が帰納的順序集合:
\(A\)の任意の全順序部分集合\(\small B\neq \phi\)が\(A\)に上界を持つ

Zornの補題

任意の帰納的順序集合には極大元が存在する

27.整列可能定理

整列可能定理

任意の集合に整列順序を定義できる

命題

これらは全て同値である
すなわち選択公理を仮定すればこれらは成り立つ

1.選択公理
2.Zornの補題
3.整列可能定理

\(1\Rightarrow 2\)