逆・裏・対偶

10.逆・裏

 命題「\(p⇒q\)」の逆は「\(q⇒p\)」

復習
  •  命題「\(p⇒q\)」とその逆が共に真なら\(p\)と\(q\)は同値(必要十分条件)である
    命題「\(p⇒q\)」とその逆が共に偽なら\(p\)と\(q\)は必要でも十分条件でもない
  • 実数\(x\)について命題「\(x\)が自然数ならば\(x\)は整数である」(真)の逆は 「\(x\)が整数ならば\(x\)は自然数である」(偽)である。
  • 解説
    \(p\)\(q\)\(p⇒q\)\(q⇒p\)
    OKOK
    反例OK
    OK反例
    OKOK


     取りうる値を場合分けするとこの4通りである。


     上記の例の場合実数は2行目を満たす値は存在しないので\(p⇒q\)は真、ところが3行目を満たす値(逆命題の反例、例えば\(-2\))は存在するので逆命題は偽。


     よって「\(p⇒q\)」とその逆の真偽は常に同じでない。
    \(p⇒q\)と\(q⇒p\)は同値ではない

    補足

     なお\(p\)と\(q\)が必要十分条件の時、値は1行目か4行目のみしかない。


     命題「\(p⇒q\)」の裏は「\(\overline{p}\) ⇒ \(\overline{q}\)」

  • 命題「\(x\)が自然数ならば\(x\)は整数である」(これは真)の裏は 「\(x\)が自然数でないならば\(x\)は整数でない」(偽、反例\(-1\))である。
  • 解説
    \(p\)\(q\)\(p⇒q\)\(\overline{p}\) ⇒ \(\overline{q}\)
    OKOK
    反例OK
    OK反例
    OKOK


     上記の例の場合2行目の値は存在しないので\(p⇒q\)は真だが3行目の値(裏の命題の反例、例えば\(-1\))である、よって\(\overline{p}\) ⇒ \(\overline{q}\)は偽。

     よって「\(p⇒q\)」とその裏の真偽は常に同じでない。
    \(p⇒q\)と裏命題は同値ではない


    11.対偶

    対偶

     命題「\(p⇒q\)」の対偶は「\(\overline{q}\) ⇒ \(\overline{p}\)」である。

    補足

     逆の裏は対偶である

  • 命題「xが自然数ならばxは整数である」(真)の対偶は 「xが整数でないならばxは自然数でない」(真)である。
  • 解説
    \(p\)\(q\)\(p⇒q\)\(\overline{q}\) ⇒ \(\overline{p}\)
    OKOK
    反例反例
    OKOK
    OKOK

    \(p⇒q\)が真の時2行目の値(反例)が存在しないので\(\overline{q}\) ⇒ \(\overline{p}\)も真、\(p⇒q\)が偽である時2行目の値(反例)が存在するので\(\overline{q}\) ⇒ \(\overline{p}\)も偽。

     このことから「\(p⇒q\)」とその裏の真偽は常に同じである。

    つまり\(p⇒q\)とその対偶は同値である。


     \(p⇒q\)の真偽を調べる代わりに\(\overline{q}\) ⇒ \(\overline{p}\)の真偽を調べる証明法を対偶法という。