命題論理

1.命題変数

論理定数

真を表す定数を\(T\),偽を表す定数を\(F\)と置く

命題変数

命題変数は真理値\(T\)か\(F\)をとる任意の命題を表す

ここでは

命題を一般的に議論するために\(P\)や\(Q\)を命題変数とする

2.複合命題

複合命題

命題に\(∧,∨ ,\lnot\)\(,\rightarrow\)を作用させ得られる命題を複合命題という

複合命題の真理値表

下に主な真理値をまとめた表を示す。\(P\)と\(Q\)の真偽で場合分けして求める。また\(\lnot\)は否定を表す。

\(p\)\(q\)\(p∧q\)\(p∨q\)\(\lnot p\)\(p\rightarrow q\)\(p\leftarrow q\)\(p \leftrightarrow q\)
\(T\)\(T\)\(T\)\(T\)\(F\)\(T\)\(T\)\(T\)
\(T\)\(F\)\(F\)\(F\)\(F\)\(F\)\(T\)\(F\)
\(F\)\(T\)\(F\)\(T\)\(T\)\(T\)\(F\)\(F\)
\(F\)\(F\)\(F\)\(F\)\(T\)\(T\)\(T\)\(T\)
演算順序

覚えるべきは青の4つのみであり、複合命題はそれらの組み合わせでできている。演算の優先度は\(\lnot,(∧,∨), \rightarrow\)である

例えば「\(P \rightarrow \lnot P ∧Q \)」は「\(P \rightarrow ((\lnot P) ∧Q ) \)」の順番で演算する

命題論理

命題論理は複合命題の真偽を研究する分野である

3.トートロジー(恒真式)

トートロジー

元の命題の真理値によらず常に真となる複合命題

\(p\)\(\lnot p\)\(p∨(\lnot p)\)
\(T\)\(F\)\(T\)
\(F\)\(T\)\(T\)
コメント

上記は排中律と呼ばれるトートロジーである
「\(P\)または\(P\)でない」と言う複合命題は\(P\)の真理値によらず常に真である。