命題と条件

ここでは\(p\)、\(q\)の真理集合をP,Qとする

7.ならば

「\(p⇒q\)」

\(p⇒q\)(\(p\)ならば\(q\))は命題である
\(p⇒q\)が真であるとは「\(p\)を真にするすべての値が\(q\)を真にする」ことである

言い換え

1.「\(p⇒q\)」が真であるとは\(p\)を真にし、\(q\)を偽にする値が存在しないことである。

2.「\(p⇒q\)」が真であるとは\(P⊂Q\)である。

仮定、結論、反例

 命題「\(p⇒q\)」において\(p\)は仮定、\(q\)を結論という。
\(p\)を真にし、\(p\)を偽にする値を反例という。

つまり

反例がない時\(p⇒q\)が真。反例がある時\(p⇒q\)が偽。

  • 実数\(x\)に対して「\(x\)が自然数ならば\(x\)は整数である」 は命題であり、反例がないので真である。
  • 補足
  •  \(p\)が偽の時は特に何も制約がないので\(p\)を偽にする値の存在は真偽に影響しない(上の例では\(-1\)や\(0.25\)の存在は真偽に影響しない。)\(p⇒q\)の真偽に影響するのは反例の有無だけである。
  • 実数\(x\)に対して「\(x\)が整数ならば\(x\)は自然数である」は命題であり、偽である(反例\(x=-1\))。
  • 仮定が偽

     仮定\(p\)がいかなる値においても偽である時、結論\(q\)の真偽によらず\(p⇒q\)はである。

    すなわち

     反例がないので「\(p⇒q\)」は真になるということ。

    真理集合を考えると...

     全ての値で\(p\)が偽であるので、\(p\)の真理集合\(P\)は空集合である。よって必ず∅\(⊂Q\)となるので「\(p⇒q\)」はとなる。

    何か違和感が...

     日常で使う「ならば」を考えてしまうと直感的に違和感を感じてしまうことがある。数学における「ならば」は日常で使う「ならば」とは違うと思った方が良い

  • 命題「自然数xに対して\(x^2<0\)ならばxは偶数である」 は仮定が偽なので真である(反例がないから)。∅\( \subset \) {2,4,6,8,...}
  • 自然数xに対して「xが偶数かつ奇数ならばx=2である」は仮定が偽であるので真である(反例がないから)。∅\( \subset \) {2}