かつ、または、否定

 ここでは条件\(p\)と\(q\)の真理集合をP、Qとする。

4.かつ

かつ∧

\(p∧q\)は\(p\)と\(q\)共に真の時に限り真となる条件

それぞれの場合をまとめると...
\(p\)\(q\)\(p∧q\)
1
2
3
4

上の定義を表にまとめ,真理集合で対応づけた。
 \(p\)かつ\(q\)の真理集合はP∩Q(PとQの共通部分)

  • 自然数\(x\)に対し条件「\(2<x\)かつ\(x \leq 5\)」 は\(x=3,4,5\)で真であり、それ以外の自然数で偽
  • 値\(3,4,5\)の時のみ条件「\(2<x\)」と「\(x\leq5\)」が共に真となる
    条件「\(2<x\)かつ\(x\leq5\)」の真理集合は\(\{3,4,5\}\)

    注意!

    ここで\(x\)が自然数であるのは大前提であり、この時集合全体を自然数全体として真理集合を考えなければならない。問題を考える時何が大前提(集合全体)であるかをしっかり把握する。

    5.または

    または∨

    \(p∨q\)は\(p\)と\(q\)少なくとも一方が真の時に真となる条件

    それぞれの場合をまとめると...
    \(p\)\(q\)\(p∨q\)
    1
    2
    3
    4

    上の定義を表にまとめ,真理集合で対応づけた
    \(p\)または\(q\)の真理集合はP∪Q(PとQの和集合)

  • 自然数\(x\)に対し条件「\(2<xまたはx<5\)」 は\(x\)は任意の自然数で真
  • 全ての自然数で条件「\(2<x\)」と「\(x<5\)」のどちらかは必ず真である。
    条件「\(2<xまたはx<5\)」の真理集合は自然数全体である。

    補足

    「\(x \leq y\)」とは「\(x<yまたはx=y\)」を意味する。


    命題「\(1\leq 2\)」は真


    6.否定

    でない\(\overline{p}\)

    \(\overline{p}\)は\(p\)が偽で真となり、\(p\)が真で偽となる条件

    それぞれの場合をまとめると...
    \(p\)\(\overline{p}\)
    1
    2

    \(\overline{p}\)の真理集合は\(\overline{P}\)(\(P\)の補集合)である
    つまり\(pまたは\overline{p}\)の真理集合は全体集合である

    注意

    \(p\)でないというが、前提条件は満たしていなければならない。つまり否定の真理集合(補集合)は全体集合によって変わるので全体集合を適切に定めるのが非常に重要。

  • 自然数xに対し条件「\(2<x\)でない」は\(x \leq 2\)を満たす自然数\(1,2\)で真
  • 条件「\(2<xでない\)」の真理集合は\(\{1,2\}\)である。