絶対値

14.実数の絶対値

実数の絶対値

\[|x|= \begin{cases}    x & (x\ge0)\\     -x & (x<0) \end{cases} \]

POINT

絶対値を含む式はこの二つの場合を考えなくてはならない。
また実数の絶対値は数直線上での\(0\)から\(x\)までの距離である。

性質
  • \(|a|\ge 0\)(等号は\(a=0\)の時に限る)
  • \(|-a|=|a|\)
  • \(|a|^2=a^2\)
  • \(|ab|=|a||b|\)
  • \(|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}\)
  • \(a\)の正負ごとに場合分けして考えれば簡単に示せる

    15.複素数の絶対値

    複素数の絶対値

    複素数 \(z=a+bi\) に対して,\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) である。

    POINT

    絶対値を複素数まで拡張したものである。
    これは複素数平面上の原点からの距離を表す。

    性質
  • \(|z|\ge 0\)(等号は\(z=0\)の時に限る)
  • \(|-z|=|z|=|\overline{z}|\)
  • \(|z|^2=z\overline{z}\)
  • \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)から簡単に示せる。