約数と倍数

1.約数と倍数

約数と倍数

\(a=kb\)  \((a,b,k\in \mathbb{Z},b≠0)\)
を満たす\(k\)が存在する時\(b\)は\(a\)の約数、\(a\)は\(b\)の倍数

POINT
  • \(a\)は\(b\)で割り切れるといい\(b|a\)とかく
  • 特に断りがなければ約数と倍数は正とする
  • 1は全ての整数の約数で0は全ての整数の倍数である
  • 2.素数

    素数

    約数が\(1\)とその数自身のみの自然数を素数という
    (ただし1は素数ではないとする)

    合成数

    素数でない自然数を合成数という
    (ただし1は合成数でないとする)

    注意

    1は素数でも合成数でもない

    3.素因数分解

    素因数分解

    自然数を素数の積で表すことを素因数分解という

    素因数分解の一意性

    全ての自然数は素数の積として一意に表される
    (積の順番の違いは無視する)

    素因数分解と約数

    \(12=2^2・3\)(素因数分解)

    \(12\)の約数は

    \(2^0・3^0=1\)
    \(2^0・3^1=3\)
    \(2^1・3^0=2\)
    \(2^1・3^1=6\)
    \(2^2・3^0=4\) 
    \(2^2・3^1=12\)

    このように約数は素因数の積の組み合わせである
    素因数分解の一意性から違う組み合わせで約数が重複することはない

    よって約数の個数は素因数の指数の場合の数\(3・2=6個\)

    約数の個数

    一般に\(x=p_1^{a}\cdot p_2^{b}\cdot…\)と素因数分解で表される時
    \(x\)の約数の個数は\((a+1)\cdot(b+1)…\)となる

    4.最大公約数と最小公倍数

    最大公約数

    2つの自然数に共通する最大の約数を最大公約数とする

    最小公倍数

    2つの自然数に共通する最小の倍数を最小公倍数とする

    補足
  • 最小の公約数は常に\(1\),公倍数はいくらでも大きくとれる
  • 最大公約数が1の時2つの自然数は互いに素という
  • \(a,b\)の最大公約数を\(gcd(a,b)\)とかく
  • \(a,b\)の最小公倍数を\(lcm(a,b)\)とかく
  • POINT

    自然数\(a,b\)に対し最大公約数\(g\)最小公倍数\(l\)は


  • \(a=a'g,b=b'g\) (a',b'は互いに素)
  • \(l=a'b'g\)
  • \(ab=gl\)
  • 最大公約数と最小公倍数の関係

    \(a=12=\)\(2\)\(\cdot\)\(2\)\(\cdot\)\(3\)
    \(b=30=\)\(2\)\(\cdot\)\(3\)\(\cdot\)\(5\)

    最大公約数 \(g=\)\(2\)\(\cdot\)\(3\)
    最小公倍数 \(l=\)\(2\)\(\cdot\)\(2\)\(\cdot\)\(3\)\(\cdot\)\(5\)

    最大公約数は\(a,b\)両方に共通するものの積

    \(a=a'g,b=b'g\)と表され
    \(a'\)と\(b'\)は互いに素である(\(2,5\)は互いに素)

    また最小公倍数\(l=a'b'g\)
    よって\(ab=gl\)

    最大公約数と最小公倍数の関係

    \(a=12=\)\(2\)\(\cdot\)\(2\)\(\cdot\)\(3\)
    \(b=30=\)\(2\)\(\cdot\)\(3\)\(\cdot\)\(5\)

    最大公約数 \(g=\)\(2\)\(\cdot\)\(3\)
    最小公倍数 \(l=\)\(2\)\(\cdot\)\(2\)\(\cdot\)\(3\)\(\cdot\)\(5\)

    最大公約数は\(a,b\)両方に共通するものの積

    \(a=a'g,b=b'g\)と表され
    \(a'\)と\(b'\)は互いに素である(\(2,5\)は互いに素)

    また最小公倍数\(l=a'b'g\)
    よって\(ab=gl\)