有理数と無理数

3.有理数

有理数

 整数\(a,b\)(\(\neq 0\))で\(\frac{a}{b}\)と表せる数を有理数という

コメント

整数を商の範囲に拡張したものである。
\(b=1\)の時に整数になり、\(b=0\)は定義されない。

四則演算

有理数は四則演算が自由に行える。

有理数\(+\)有理数=有理数
有理数\(-\)有理数=有理数
有理数\( \times\)有理数=有理数
有理数\( \div\)有理数=有理数


確かめ

有理数\(\frac{a}{b}\),\(\frac{c}{d}\)と置く(\(a,b,c,d\)は整数)。


\(1.\frac{a}{b} +\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\)
\(2.\frac{a}{b} -\frac{c}{d}=\frac{ab-bc}{bd}\)
\(3.\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)
\(4.\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} =\frac {ad}{bc}\)

\(1.\frac{a}{b} +\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\)
\(2.\frac{a}{b} -\frac{c}{d}=\frac{ab-bc}{bd}\)
\(3.\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)
\(4.\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} =\frac {ad}{bc}\)

これらは全て\(( \frac{整数}{整数})\)なので有理数


循環小数

有理数は整数、有限小数、循環小数のいずれかである。


確かめ

1.有限小数は整数の商で表せるので有理数
例 \(0.000...012= \frac{12}{100...000}\)

2.循環小数は次のように整数の分数に変形できる。
\(r=0.a_1a_2 \cdots a_na_1a_2 \cdots a_n \cdots \)
\(10^nr=a_1a_2 \cdots a_n.a_1a_2\cdots a_n \cdots\)
\(10^nr-r=a_1a_2 \cdots a_n \)
\(r=\frac{a_1a_2 \cdots a_n}{10^n-1}\)は有理数

3.無限小数が有理数なら必ず循環する
有理数を分数の形から少数の形に直し無限小数になる時、筆算を行う過程で余りを\(10\)倍して割り算を繰り返すが余りは\(1,2,3...b-1\)と有限個しかないので必ず同じ余りが出てきて循環する


循環しない無限小数は有理数ではない


4.無理数

無理数

 循環しない無限小数で表される数を無理数という

コメント

有理数の四則演算で出てこない数であり、有理数による数直線上の穴を埋める数である。

四則演算

無理数は四則演算で閉じてない
反例
\(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\)(無理数でない)
\(\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2\)(無理数でない)
\(\sqrt{2}\div \sqrt{2}=1\)(無理数でない)