平方根とルート

10.実数の平方根とルート

平方根

実数\(a\)に対し\(a=b^2\)となる\(b\)を\(a\)の平方根という

正の実数の根号

正の実数\(a\)の平方根のうちのものを\( \sqrt {a}\)とする

負の実数の根号

正の実数\(a\)に対して\(\sqrt{-a}=\sqrt{a}i\)である

実数の根号の積と商
  • \(a>0,b>0\)とする
  • \(1.\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
    \(2.\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)
    3.\(\sqrt{-a}\sqrt{-b}=\sqrt{a}i\sqrt{b}i=-\sqrt{ab}\)
    \(4.\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}=\frac{\sqrt{a}i}{\sqrt{b}i}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)


    根号の中が負の時は中身同士で先に掛け算してはならない

  • \(\sqrt{-3}\sqrt{-5}=\sqrt{3}i\sqrt{5}i=-\sqrt{15}\)
  • POINT

    上記から正の実数\(a\)の平方根は\(\pm \sqrt{a}\)、\(-a\)の平方根は\(\pm \sqrt{a}i\)

    11.有理化

    分母の有理化

    分母に根号を含む式を分母に根号が含まれないように変形することを分母の有理化という

    コメント

    一般的に外せない根号は無理数となる(\(\sqrt{2}\)が無理数であることの証明を一般化)ので根号を取り除いて有理数に変化させるため有理化と呼ばれる。

    有理化の一例
  • 方法は実数化と同じである
  • \(\frac{k}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{k(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}\)=\(\frac{k(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}\)

    補足

    \(i=\sqrt{-1}\)から実数化と有理化の方法は同じである。
    実数化や有理化を行うことで数式の表記を統一させ、計算しやすくなったり、比較しやすくなる。

    分母の\(i\)や\(\sqrt{ }\)は基本的に取り除く

    12.2乗の根号

    2乗の根号

    実数\(a\)に対して\(\sqrt{a^2}=|a|= \begin{cases}    a & (a\ge0)\\     -a & (a<0) \end{cases} \)

  • \(\sqrt{3^2}=3\)
  • \(\sqrt{(-3)^2}=3\) (\(a\)の正負に関わらず結果は正になる)
  • 13.二重根号

    二重根号を外す
  • \(1.\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
    \(2.\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)
    ( \(\bf a>b\))
  • POINT

    因数分解できる形であれば上記のように二重根号を外すことができる。
    ここで注意しなければならないのはルートを外した結果は必ずになること。(だから\(\bf a>b\))

  • \(\sqrt{5+\sqrt{24}}=\sqrt{(2+3)+2\sqrt{6}}\)
                      \(=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
  • \(\sqrt{5+\sqrt{24}}=\sqrt{(2+3)+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
  • 補足

    \(a,b\)は\(x^2-(a+b)x+ab\)の解となる(参考
    よって\(a,b\)は解の公式を使って求められる