距離空間

1.距離空間

関数

ここでは数の集合への写像を関数と呼ぶ

距離関数

関数\(d:X\times X \rightarrow \mathbb{R}\)が距離関数:
\(\forall x,y,z \in X\)

\(1.d(x,y) \geq 0\)
\(2.d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y\)
\(3.d(x,y)=d(y,x)\)
\(4.d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\)

距離空間

\(X\)と\(\small d:X\times X \rightarrow \mathbb{R}\)の組\((X,d)\)を距離空間という

2.距離空間の開集合

以下距離空間\((X,d)\)における集合\(A\subset X\)と\(x\in X\)を考える

\(ε\)-近傍

\(x_0\in X,ε>0\)に対して
\(x_0\)を中心とする開球もしくは\(ε\)-近傍
\(U(x_0,ε):=\{x\in X|d(x,x_0)<ε\}\)

開集合

距離空間における開集合を定める
\(A\)は開集合\(:\forall x \in A \exists ε>0(U(x,ε)\subset A)\)

命題

距離空間において上の開集合の成す集合族を\(\mathcal{O}\)とする
\((X,\mathcal{O})\)は位相空間である

3.距離空間の内部

内点

\(x\)が\(A\)の内点: \(\small \exists ε>0(U(x,ε)\subset A)\)

内部

\(A\)の内部もしくは開核
\(A^o:=\{x\in X|x\)は\(A\)の内点\(\}\)

命題

\(A\)が開集合\(\Leftrightarrow A=A^o\)

4.閉集合

触点

\(x\)は\(A\)の触点:\(\forall ε>0(U(x,ε)\cap A\neq \phi)\)

閉包

\(A\)の閉包
\(\small \overline{A}:=\{x\in X|x\)は\(A\)の触点\(\}\)

命題

\(A\)が閉集合\(\Leftrightarrow A=\overline{A}\)

5.外部、境界

外点

\(x\)は\(A\)の外点: \(x\)は\(\overline{A}\)の内点

外部

\(A\)の外部
\(\small A^{co}:=\{x\in X|x\)は\(A\)の外点\(\}=(A^c)^o\)

境界

\(\overline{A}\A^o\)を\(A\)の境界と呼び、その要素を境界点と呼ぶ

6.集積点、孤立点

集積点

\(x\)が\(A\)の集積点: \(x\)が\(A\\{x\}\)の触点

孤立点

\(x\)が\(A\)の孤立点:\(\exists ε>0(U(x,ε)\cap A=\{x\})\)