位相空間

集合\(X(\neq \phi)\)に対し、\(x\in X\)、\(A,B\subset X\)とする

1.公理系

開集合の公理

開集合系\(\small \mathcal{O}\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\phi \subset \mathcal{O},X \subset \mathcal{O}\)
\(2.O_1,O_2\in \mathcal{O} \Rightarrow O_1\cap O_2\in \mathcal{O}\)
\(3.\small O_\lambda\in \mathcal{O},\lambda\in \Lambda \Rightarrow \)\(\scriptsize \displaystyle\bigcup_{\lambda\in \Lambda}{O_\lambda}\)\(\in \mathcal{O}\)

閉集合の公理

閉集合系\(\small \mathcal{F}\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\phi \subset \mathcal{F},X \subset \mathcal{F}\)
\(2.F_1,F_2\in \mathcal{F} \Rightarrow F_1\cup F_2\in \mathcal{F}\)
\(3.\small F_\lambda\in \mathcal{F},\lambda\in \Lambda \Rightarrow \)\(\scriptsize \displaystyle\bigcap_{\lambda\in \Lambda}{F_\lambda}\)\(\in \mathcal{F}\)

開核作用素の公理

開核作用素\(int:\mathscr{P}(X)\rightarrow \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\ int(X)=X \)
\(2.\ int(A\cap B)=int(A)\cap int (B)\)
\(3.\ int(A)\subset A \)
\(4.\ int(int(A))=int(A) \)

閉包作用素の公理

閉包作用素\(cl:\mathscr{P}(X)\rightarrow \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\ cl(\phi)=\phi \)
\(2.\ cl(A\cup B)=cl(A)\cup cl (B)\)
\(3.\ A\subset cl(A) \)
\(4.\ cl(cl(A))=cl(A) \)

近傍の公理

近傍系\(\small \mathcal{U}(x)\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\mathcal{U}(x)\neq \phi\)
\(2.U\in \mathcal{U}(x) \Rightarrow x\in U\)
\(3.U,V\in \mathcal{U}(x)\Rightarrow U\cap V\in \mathcal{U}(x) \)
\(4.U\in \mathcal{U}(x)\land U\subset V \Rightarrow V \in \mathcal{U}(x) \)
\(5.\forall U\in \mathcal{U}(x) \exists V\in \mathcal{U}(x)(\forall y \in V(U\in \mathcal{U}(x))\)

近傍の公理

近傍系\(\small \mathcal{U}(x)\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\mathcal{U}(x)\neq \phi\)
\(2.U\in \mathcal{U}(x) \Rightarrow x\in U\)
\(3.U,V\in \mathcal{U}(x)\Rightarrow U\cap V\in \mathcal{U}(x) \)
\(4.U\in \mathcal{U}(x)\land U\subset V \Rightarrow V \in \mathcal{U}(x) \)
\(5.\forall U\in \mathcal{U}(x) \exists V\in \mathcal{U}(x)( y \in V\rightarrow U\in \mathcal{U}(x))\)

基本近傍の公理

基本近傍系\(\small \mathcal{N}(x)\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\mathcal{N}(x)\neq \phi\)
\(2.U\in \mathcal{N}(x) \Rightarrow x\in U\)
\(3.U,V\in \mathcal{N}(x)\Rightarrow \exists W\in \mathcal{N}(x)(W\subset U\cap V)\)
\(\small 4.\forall U\in \mathcal{N}(x), \exists V\in \mathcal{N}(x)(\forall y \in V ,\exists W\in \mathcal{N}(y)(W\subset U))\)

基本近傍の公理

基本近傍系\(\small \mathcal{N}(x)\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\mathcal{N}(x)\neq \phi\)
\(2.U\in \mathcal{N}(x) \Rightarrow x\in U\)
\(3.U,V\in \mathcal{N}(x)\Rightarrow \exists W\in \mathcal{N}(x)(W\subset U\cap V)\)
\(\small 4.\forall U\in \mathcal{N}(x), \exists V\in \mathcal{N}(x)(\forall y \in V ,\exists W\in \mathcal{N}(y)(W\subset U))\)

開基の公理

開基\(\small \mathcal{B}\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\scriptsize \displaystyle\bigcup_{B\in \mathcal{B}}\)\(B=X\)
\(2.B_1,B_2\in \mathcal{B}, x\in B_1 \cap B_2 \\ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \exists B\in \mathcal{B}(x\in B \land B\subset B_1\cap B_2)\)

2.位相空間の定義

位相の定義

開集合系、閉集合系、近傍系、開核作用素、閉包作用素のいずれか一つを備えたものを位相空間と定義する。この時どの公理を選んで位相を定義しても同値な定義となるのでどの公理から位相を定めても良い。ここでは開集合の公理から位相空間を定め、それ以外を開集合を用いて公理を満たすように定義していく。

位相空間

開集合系\(\small \mathcal{O}\subset \mathscr{P}(X)\)を指定して位相と定める
この時\((X,\mathcal{O})\)を位相空間と呼ぶ

以下位相空間\((X,\mathcal{O})\)を考える

開集合

集合\(O\subset X\)が開集合:\(O\in \mathcal{O}\)

閉集合

集合\(F\subset X\)が閉集合:\(F^c\in \mathcal{O}\)

閉集合系

\(\mathcal{F}=\{F\subset X|F^c\in \mathcal{O}\}\)
この定義で定められた閉集合系は閉集合の公理を満たす

内点

\(x\)が\(A\)の内点: \(\small \exists U\in \mathcal{O}(x \in U\subset A) \)

開核

\(A\)の開核\(A^o=\{x\in X|x\)は\(A\)の内点\(\}\)

開核作用素

開核作用素\(int:\mathscr{P}(X)\rightarrow \mathscr{P}(X),int(A)=A^o\)
この定義で定められた開核作用素は公理を満たす

触点

\(x\)は\(A\)の触点:
\(\small \forall N\in \mathcal{O}(x\in N \rightarrow N\cap A\neq \phi)\)

閉包

\(A\)の閉包\( \overline{A}:=\{x\in X|x\)は\(A\)の触点\(\}\)

閉包作用素

閉包作用素\(cl:\mathscr{P}(X)\rightarrow \mathscr{P}(X),cl(A)=\overline{A}\)
この定義で定められた閉包作用素は公理を満たす

近傍

\(N\)\(\scriptsize (\subset X)\)が\(p\)\(\scriptsize (\in X)\)の近傍:\(\small \exists U \in \mathcal{O}(p\in U\subset N) \)

近傍系

\(\mathcal{U}(p)=\{N\subset X|\exists U \in \mathcal{O}(p\in U\subset N)\}\)
この定義で定められた\(p\)の近傍系は公理を満たす

3.位相空間の生成

位相の生成

開集合の公理を満たす部分集合族を位相であると定義した。次に開集合の公理を満たす位相を基本近傍系、開基、準基を用いて生成する方法を示す

基本近傍系

\(\mathcal{N}(p)\)が\(p\in X\)の基本近傍系:
\(\forall U\in \mathcal{U}(p)\exists N\in \mathcal{N}(p) (N\subset U)\)

基本近傍系

基本近傍系の公理を満たす\(X\)の部分集合族\(\mathcal{N}(x)\)に対して
開集合系\(\mathcal{O}\)が定まる

開基(基底)

\(\mathcal{B}\subset \mathcal{O}\)が\(\mathcal{O}\)の基:
\(\forall O \in \mathcal{O},\exists \{O_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}\subset \mathcal{B} (O=\)\(\scriptsize \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}\)\(O_\lambda)\)

開基

この定義で定められた開基は公理を満たす

開基による位相の生成

開基の公理を満たす\(X\)の部分集合族\(\mathcal{B}\)に対して
それを基とする開集合系\(\mathcal{O}\)が定まる

準基

\(\mathcal{S}\subset \mathcal{O}\)が準基とは\(S_i\in \mathcal{S}\)の有限個の共通部分全体\(\{S_1 \cap S_2 \cap... \cap S_n|S_i\in \mathcal{S},i=1,2,...,n,n=0,1,...\}\)
が\(\mathcal{O}\)の開基であることである

\(n=0\)の時共通部分は\(X\)となることに注意

.外部、境界

外点

\(x\)は\(A\)の外点: \(x\)は\(A^c\)の内点

外部

\(A\)の外部
\(\small A^{co}:=\{x\in X|x\)は\(A\)の外点\(\}=(A^c)^o\)

境界

\(\overline{A}-A^o\)を\(A\)の境界と呼び
その要素を境界点と呼ぶ

5.集積点、孤立点

集積点

\(x\)が\(A\)の集積点: \(x\)が\(A-\{x\}\)の触点

孤立点

\(x\)が\(A\)の孤立点:\(\exists N\in \mathcal{O}(N\cap A=\{x\})\)