位相空間

空でない集合\(X\)に対し
\(x\in X\)、\(A,B,U,O,N\subset X\)とする

1.公理系

近傍の公理

近傍系\(\small \mathcal{U}(x)\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\mathcal{U}(x)\neq \phi\)
\(2.U\in \mathcal{U}(x) \Rightarrow x\in U\)
\(3.U,V\in \mathcal{U}(x)\Rightarrow U\cap V\in \mathcal{U}(x) \)
\(4.U\in \mathcal{U}(x)\land U\subset V \Rightarrow V \in \mathcal{U}(x) \)
\(5.\forall U\in \mathcal{U}(x) \exists V\in \mathcal{U}(x)(\forall y \in V(U\in \mathcal{U}(x))\)

近傍の公理

近傍系\(\small \mathcal{U}(x)\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\mathcal{U}(x)\neq \phi\)
\(2.U\in \mathcal{U}(x) \Rightarrow x\in U\)
\(3.U,V\in \mathcal{U}(x)\Rightarrow U\cap V\in \mathcal{U}(x) \)
\(4.U\in \mathcal{U}(x)\land U\subset V \Rightarrow V \in \mathcal{U}(x) \)
\(5.\forall U\in \mathcal{U}(x) \exists V\in \mathcal{U}(x)( y \in V\rightarrow U\in \mathcal{U}(x))\)

開集合の公理

開集合系\(\small \mathcal{O}\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\phi \subset \mathcal{O},X \subset \mathcal{O}\)
\(2.O_1,O_2\in \mathcal{O} \Rightarrow O_1\cap O_2\in \mathcal{O}\)
\(3.\small O_\lambda\in \mathcal{O},\lambda\in \Lambda \Rightarrow \)\(\scriptsize \displaystyle\bigcup_{\lambda\in \Lambda}{O_\lambda}\)\(\in \mathcal{O}\)

閉集合の公理

閉集合系\(\small \mathcal{F}\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\phi \subset \mathcal{F},X \subset \mathcal{F}\)
\(2.F_1,F_2\in \mathcal{F} \Rightarrow F_1\cup F_2\in \mathcal{F}\)
\(3.\small F_\lambda\in \mathcal{F},\lambda\in \Lambda \Rightarrow \)\(\scriptsize \displaystyle\bigcap_{\lambda\in \Lambda}{F_\lambda}\)\(\in \mathcal{F}\)

開核作用素の公理

開核作用素\(int:\mathscr{P}(X)\rightarrow \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\ int(X)=X \)
\(2.\ int(A\cap B)=int(A)\cap int (B)\)
\(3.\ int(A)\subset A \)
\(4.\ int(int(A))=int(A) \)

閉包作用素の公理

閉包作用素\(cl:\mathscr{P}(X)\rightarrow \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\ cl(\phi)=\phi \)
\(2.\ cl(A\cup B)=cl(A)\cup cl (B)\)
\(3.\ A\subset cl(A) \)
\(4.\ cl(cl(A))=cl(A) \)

基本近傍の公理

基本近傍系\(\small \mathcal{N}(x)\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\mathcal{N}(x)\neq \phi\)
\(2.U\in \mathcal{N}(x) \Rightarrow x\in U\)
\(3.U,V\in \mathcal{N}(x)\Rightarrow \exists W\in \mathcal{N}(x)(W\subset U\cap V)\)
\(\small 4.\forall U\in \mathcal{N}(x), \exists V\in \mathcal{N}(x)(\forall y \in V ,\exists W\in \mathcal{N}(y)(W\subset U))\)

基本近傍の公理

基本近傍系\(\small \mathcal{N}(x)\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\mathcal{N}(x)\neq \phi\)
\(2.U\in \mathcal{N}(x) \Rightarrow x\in U\)
\(3.U,V\in \mathcal{N}(x)\Rightarrow \exists W\in \mathcal{N}(x)(W\subset U\cap V)\)
\(\small 4.\forall U\in \mathcal{N}(x), \exists V\in \mathcal{N}(x)(\forall y \in V ,\exists W\in \mathcal{N}(y)(W\subset U))\)

開基の公理

開基\(\small \mathcal{B}\subset \mathscr{P}(X)\)は次を満たす:

\(1.\scriptsize \displaystyle\bigcup_{B\in \mathcal{B}}\)\(B=X\)
\(2.B_1,B_2\in \mathcal{B}, x\in B_1 \cap B_2 \\ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \exists B\in \mathcal{B}(x\in B \land B\subset B_1\cap B_2)\)

位相の定義

開集合系、閉集合系、近傍系、開核作用素、閉包作用素のいずれか一つを備えたものを位相空間と定義する。この時どの公理を選んで位相を定義しても同値な定義となるのでどの公理から位相を定めても良い。ここでは特に重要な近傍系と開集合系から位相を定義する事にする

3.位相空間(近傍系Ver)

近傍系から定める位相

ここでは近傍系は公理を満たすものから任意に指定したものとし、それを位相とする。この時、開集合も一意に定まる。

位相空間

集合\(X\)の任意の点\(x\)に対して近傍系の公理を満たす\(\small \mathcal{U}(x)\subset \mathscr{P}_X\)を指定し、
\(\mathcal{U}_X=\{\mathcal{U}(x)| x\in X\}\)を位相と定める。この時\((X,\mathcal{U}_X)\)を位相空間と呼ぶ

以下位相空間\((X,\mathcal{U}_X)\)を考える

近傍

\(U\)が\(x\)の近傍:\(U\in \mathcal{U}(x)\)

開集合

\(O\)が開集合:\(\forall x\in O(O\in \mathcal{U}(x))\)

開集合系

※\(\mathcal{O}'=\{O\subset X|\forall x\in O(O\in \mathcal{U}(x))\}\)
この定義で定められた開集合系は公理を満たす

2.位相空間(開集合系Ver)

開集合系から定める位相

次に開集合系は公理を満たすものから任意に指定したものとし、それを位相とする。この時近傍系も一意に定まる。

位相空間

開集合系の公理を満たす部分集合族\(\small \mathcal{O}_X\subset \mathscr{P}(X)\)を指定して位相と定める。この時\((X,\mathcal{O}_X)\)を位相空間と呼ぶ

以下位相空間\((X,\mathcal{O})\)を考える

開集合

\(O\)が開集合:\(O\in \mathcal{O}_X\)

近傍

\(N\)が\(x\)の近傍:\(\small \exists U \in \mathcal{O}_X(x\in U\subset N) \)

近傍系

\(\mathcal{U}(x)=\{N\subset X|\exists U \in \mathcal{O}(x\in U\subset N)\}\)
この定義で定められた\(x\)の近傍系は公理を満たす

\((X,\mathcal{U}_X)\)と\((X,\mathcal{O})\)の同値性

近傍系の公理から定められた位相と開集合系の公理から定められた位相は一対一に対応することを示せ

\(\mathcal{U}_X\leadsto \mathcal{O}_X \leadsto \mathcal{U}'_X=\mathcal{U}_X\)を示す

\(V\in \mathcal{U}'(x)\)
\(\Leftrightarrow \exists U \in \mathcal{O}_X(x\in U\subset V)\)
\(\Leftrightarrow \exists U(U\in \mathcal{O}_X \land (x\in U\subset V)\)
\(\Leftrightarrow \exists U(\forall y \in U(U\in\mathcal{U}(y))\land x\in U\land U\subset V)\)
\(\Leftrightarrow[※]V\in \mathcal{U}(x)\)
[※]
\(\Rightarrow y=x\)の時\(U\in \mathcal{U}(x)\land U\subset V\)より\(V\in \mathcal{U}(x)\)(近傍系の公理より)
\(\Leftarrow U:=(y\in X|V\in \mathcal{U}(y))\)とすれば良い

\(\mathcal{O}_X\leadsto \mathcal{U}_X \leadsto \mathcal{O}'_X=\mathcal{O}_X\)を示す

\(U\in \mathcal{O}'_X\)
\(\Leftrightarrow \forall x \in U(U\in \mathcal{U}(x))\)
\(\Leftrightarrow \forall x \in U \exists U'\in \mathcal{O}_X(x\in U'\subset U)\)
\(\Leftrightarrow [※]U\in \mathcal{O}_X\)
[※]
\(\Rightarrow\)開集合の公理より
\(\Leftarrow U=U'\)とすれば良い

3.位相空間の生成

位相の生成

位相を定めるために近傍系や開集合系そのものを与えるのではなく、これらの元を与える。これは位相について議論する際に便利である。

基本近傍系による近傍系の生成

基本近傍系の公理を満たす\(X\)の部分集合族\(\mathcal{N}(x)\)に対して
(※2)\(\mathcal{U}(x)=\{U\subset X|\exists  N\in \mathcal{N}(x)(N\subset U) \}\)
は近傍系の公理を満たす

これは近傍系の公理を満たす

基本近傍系による開集合系の生成

近傍系が(※2)で与えられた時、開集合系
\(\mathcal{O}=\{O\subset X|\forall x\in O \exists N \in \mathcal{N}(x)(N\subset O)\}\)
が定まる

※1から\(\mathcal{O}=\{O\subset X|\forall x\in O(O\in \mathcal{U}(x))\}\)
※2から\(\mathcal{U}(x)=\{U\subset X|\exists  N\in \mathcal{N}(x)(N\subset U) \}\)
よって\(\mathcal{O}=\{O\subset X|\forall x\in O \exists N \in \mathcal{N}(x)(N\subset O)\}\)

開基による開集合系の生成

開基の公理を満たす\(X\)の部分集合族\(\mathcal{B}\)に対して
開集合系\(\mathcal{O}\)を\(\mathcal{B}\)の要素の和集合を要素とする集合とすれば定まる

閉集合、開核、閉包

閉集合、開核、閉包を定める

以上から位相、つまり開集合系と近傍系が定まったとする。すると閉集合、開核、閉包が近傍と開集合を用いて公理を満たすように一意に定義される。

閉集合

\(F\)が閉集合:\(F^c\in \mathcal{O}_X\)

閉集合系

\(\mathcal{F}=\{F\subset X|F^c\in \mathcal{O}\}\)
この定義で定められた閉集合系は閉集合の公理を満たす

内点

\(x\)が\(A\)の内点: \(\small \exists U\in \mathcal{O}_X(x \in U\subset A) \)
        \(\Leftrightarrow A\)が\(x\)の近傍

開核(内部)

\(A\)の開核\(A^o=\{x\in X|x\)は\(A\)の内点\(\}\)

開核作用素

開核作用素\(int:\mathscr{P}(X)\rightarrow \mathscr{P}(X),int(A)=A^o\)
この定義で定められた開核作用素は公理を満たす

触点

\(x\)は\(A\)の触点:
\(\small \forall N\in \mathcal{O}_X(x\in N \rightarrow N\cap A\neq \phi)\)

閉包

\(A\)の閉包\( \overline{A}:=\{x\in X|x\)は\(A\)の触点\(\}\)

閉包作用素

閉包作用素\(cl:\mathscr{P}(X)\rightarrow \mathscr{P}(X),cl(A)=\overline{A}\)
この定義で定められた閉包作用素は公理を満たす

命題

\(A\)が開集合\(\Leftrightarrow A=A^o\)
\(A\)が閉集合\(\Leftrightarrow A=\overline{A}\)

外部、境界

外点

\(x\)は\(A\)の外点: \(x\)は\(A^c\)の内点

外部

\(A\)の外部
\(\small A^{co}:=\{x\in X|x\)は\(A\)の外点\(\}=(A^c)^o\)

境界

\(\overline{A}-A^o\)を\(A\)の境界と呼び
その要素を境界点と呼ぶ

5.集積点、孤立点

集積点

\(x\)が\(A\)の集積点: \(x\)が\(A-\{x\}\)の触点

孤立点

\(x\)が\(A\)の孤立点:\(\exists N\in \mathcal{O}(N\cap A=\{x\})\)